Ha F′(x) = f(x), akkor ∫f(x) dx = F(x) + C. Ha f folytonos az [a, b] intervallumon, akkor a határozott integrál értéke F(b) − F(a). A hatványképlet n ≠ −1 esetén ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C.
Primitív függvény és a C konstans
A 6x egyik primitív függvénye 3x², mert ennek deriváltja 6x. Ugyanakkor 3x² + 5 és 3x² − 9 deriváltja is ugyanennyi. Ezért egy intervallumon a határozatlan integrál függvénycsaládot jelöl: ∫6x dx = 3x² + C.
A C tetszőleges állandó. Kezdeti feltételből meghatározható: ha F′(x) = 6x és F(1) = 8, akkor 3 + C = 8, tehát C = 5.
Alapképletek és az egyetlen kivétel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1, az adott hatvány értelmezési tartományán.∫1/x dx = ln|x| + C, nullát nem tartalmazó intervallumon.∫eˣ dx = eˣ + C.∫cos(x) dx = sin(x) + C.∫sin(x) dx = −cos(x) + C.
Összeget tagonként integrálhatsz, a konstans szorzót kiemelheted. n = −1 esetén a hatványképlet nevezője nulla lenne, ezért kell a külön logaritmusos alak. A trigonometrikus képleteknél a szög radiánban értendő.
Határozatlan integrál kidolgozva
Számítsuk ki: ∫(6x² − 4x + 3) dx. Az első tag integrálja 2x³, a másodiké −2x², a harmadiké 3x. Együtt:
∫(6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + C.
Ellenőrzésként deriváld vissza az eredményt: 6x² − 4x + 3 adódik. Ez gyors módja a hibás kitevő vagy együttható felismerésének. Az integrálási állandót a teljes kifejezés végén elegendő egyszer szerepeltetni.
Határozott integrál és előjeles terület
Legyen a feladat ∫₀² (3x² + 1) dx. Egy primitív függvény F(x)=x³+x. A felső és alsó határ behelyettesítése: F(2) − F(0) = (8+2) − 0 = 10.
A határozott integrál lehet negatív vagy nulla is. Például ∫₋₁¹ x dx = 0, mert a negatív és pozitív hozzájárulás kiegyenlíti egymást. A görbe és a tengely közötti teljes geometriai terület itt 1, ezért területkérdésnél a negatív részeket külön kell kezelni.
Gyakorlófeladatok és gyakori hibák
∫4x³ dx = x⁴ + C.∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8.∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/8 + C.
A harmadik példában a belső függvény deriváltja 2, ezt az osztás figyelembe veszi; visszaderiválással ellenőrizhető. Határozott integrálnál mindig a felső határhoz tartozó értékből vond ki az alsót. Szingularitáson, például a 0 ponton átnyúló 1/x integrálra nem alkalmazható automatikusan a folytonos függvények fenti szabálya.
Gyakori kérdések
Határozott integrálnál is kell + C a végeredménybe?
Nem. A két határérték különbségében az ugyanahhoz a primitív függvényhez tartozó konstans kiesik; az eredmény adott határoknál egy szám.
Az integrál mindig a görbe alatti pozitív terület?
Nem. A határozott integrál előjeles összeget ad. Teljes geometriai területhez a tengely alatti részeket is pozitív hozzájárulásként kell számolni.